Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Свердловской области
«Екатеринбургская школа-интернат № 10, реализующая адаптированные основные
общеобразовательные программы»
ПРИНЯТО
решением методического объединения
учителей математики
Протокол №1 от 26.08.2024 г
ПРИНЯТО
решением методического объединения учителей
математики
Протокол №1 от 27.08.2025 г
СОГЛАСОВАНО
с зам. директора по УВР
27.08. 2024 г
СОГЛАСОВАНО
с зам. директора по УВР
27.08. 2025 г
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
учебного предмета «Вероятность и статистика»
для среднего общего образования
Срок освоения программы: 2 года (11–12 классы)
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНОГО КУРСА "ВЕРОЯТНОСТЬ и СТАТИСТИКА"
Рабочая программа по учебному курсу "Вероятность и статистика" для обучающихся 11-12 классов
разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта основного
среднего образования с учётом и современных мировых требований, предъявляемых к
математическому образованию, и традиций российского образования, которые обеспечивают
овладение ключевыми компетенциями, составляющими основу для непрерывного образования и
саморазвития, а также целостность общекультурного, личностного и познавательного развития
обучающихся. В программе учтены идеи и положения Концепции развития математического
образования в Российской Федерации. В эпоху цифровой трансформации всех сфер человеческой
деятельности невозможно стать образованным современным человеком без базовой математической
подготовки. Уже в школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин,
а после школы реальной необходимостью становится непрерывное образование, что требует
полноценной базовой общеобразовательной подготовки, в том числе и математической. Это
обусловлено тем, что в наши дни растёт число профессий, связанных с непосредственным
применением математики: и в сфере экономики, и в бизнесе, и в технологических областях, и даже в
гуманитарных сферах. Таким образом, круг школьников, для которых математика может стать
значимым предметом, расширяется.
Практическая полезность математики обусловлена тем, что её предметом являются
фундаментальные структуры нашего мира: пространственные формы и количественные отношения от
простейших, усваиваемых в непосредственном опыте, до достаточно сложных, необходимых для
развития научных и прикладных идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание
принципов устройства и использования современной техники, восприятие и интерпретация
разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна
повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять
расчёты и составлять алгоритмы, находить и применять формулы, владеть практическими приёмами
геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц,
диаграмм и графиков, жить в условиях неопределённости и понимать вероятностный характер
случайных событий.
Одновременно с расширением сфер применения математики в современном обществе всё более
важным становится математический стиль мышления, проявляющийся в определённых умственных
навыках. В процессе изучения математики в арсенал приёмов и методов мышления человека
естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и
синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических
умозаключений, правила их конструирования раскрывают механизм логических построений,
способствуют выработке умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым
развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике и в формировании
алгоритмической компоненты мышления и воспитании умений действовать по заданным алгоритмам,
совершенствовать известные и конструировать новые. В процессе решения задач — основой учебной
деятельности на уроках математики — развиваются также творческая и прикладная стороны
мышления.
Обучение математике даёт возможность развивать у обучающихся точную, рациональную и
информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые, символические, графические
средства для выражения суждений и наглядного их представления.
Необходимым компонентом общей культуры в современном толковании является общее знакомство
с методами познания действительности, представление о предмете и методах математики, их отличий
от методов других естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики для
решения научных и прикладных задач. Таким образом, математическое образование вносит свой
вклад в формирование общей культуры человека.
Изучение математики также способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию
красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению
идеи симметрии.
Цели изучения учебного курса
Учебный курс «Вероятность и статистика» базового уровня является продолжением и развитием
одноимённого учебного курса базового уровня основной школы. Курс предназначен для формирования
у обучающихся статистической культуры и понимания роли теории вероятностей как математического
инструмента для изучения случайных событий, величин и процессов. При изучении курса обогащаются
представления учащихся о методах исследования изменчивого мира, развивается понимание
значимости и общности математических методов познания как неотъемлемой части современного
естественно-научного мировоззрения.
Содержание курса направлено на закрепление знаний, полученных при изучении курса основной школы
и на развитие представлений о случайных величинах и взаимосвязях между ними на важных примерах,
сюжеты которых почерпнуты из окружающего мира. В результате у обучающихся должно
сформироваться представление о наиболее употребительных и общих математических моделях,
используемых для описания антропометрических и демографических величин, погрешностей в
различного рода измерениях, длительности безотказной работы технических устройств, характеристик
массовых явлений и процессов в обществе.
В соответствии с указанными целями в структуре учебного курса «Вероятность и статистика» средней
школы на базовом уровне выделены следующие основные содержательные линии: «Случайные события
и вероятности», «Случайные величины и закон больших чисел».
Важную часть курса занимает изучение геометрического и биномиального распределений и знакомство
с их непрерывными аналогами ― показательным и нормальным распределениями.
Содержание линии «Случайные события и вероятности» служит основой для формирования
представлений о распределении вероятностей между значениями случайных величин, а также эта линия
необходима как база для изучения закона больших чисел — фундаментального закона, действующего в
природе и обществе и имеющего математическую формализацию. Сам закон больших чисел
предлагается в ознакомительной форме с минимальным использованием математического формализма.
Темы, связанные с непрерывными случайными величинами, акцентируют внимание школьников на
описании и изучении случайных явлений с помощью непрерывных функций. Основное внимание
уделяется показательному и нормальному распределениям, при этом предполагается ознакомительное
изучение материала без доказательств применяемых фактов.
Место курса в учебном плане
В Учебном плане на изучение курса «Вероятность и статистика» на базовом уровне отводится 1
учебный час в неделю в течение каждого года обучения, всего 64 учебных часа.
Планируемые предметные результаты освоения Примерной рабочей программы курса (по годам
обучения)
Предметные результаты освоения курса «Вероятность и статистика» в 11–12 классах ориентированы
на достижение уровня математической грамотности, необходимого для успешного решения задач и
проблем в реальной жизни и создание условий для их общекультурного развития.
Освоение учебного курса «Вероятность и статистика» на базовом уровне среднего общего образования
должно обеспечивать достижение следующих предметных образовательных результатов:
11 класс
12 класс
Читать и строить таблицы и диаграммы.
Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее, наименьшее
значение, размах массива числовых данных.
Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное событие,
элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта; находить вероятности в
опытах с равновозможными случайными событиями, находить и сравнивать вероятности
событий в изученных случайных экспериментах.
Находить и формулировать события: пересечение и объединение данных событий, событие,
противоположное данному событию; пользоваться диаграммами Эйлера и формулой
сложения вероятностей при решении задач.
Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события; находить
вероятности с помощью правила умножения, с помощью дерева случайного опыта.
Применять комбинаторное правило умножения при решении задач.
Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия испытаний, успех и
неудача; находить вероятности событий в серии независимых испытаний до первого
успеха; находить вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
Оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, диаграмма
распределения.
Сравнивать вероятности значений случайной величины по распределению или с помощью
диаграмм.
Оперировать понятием математического ожидания; приводить примеры, как применяется
математическое ожидание случайной величины находить математическое ожидание по
данному распределению.
Иметь представление о законе больших чисел.
Иметь представление о нормальном распределении.
Содержание учебного курса (по годам обучения)
11 класс
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Среднее арифметическое, медиана, наибольшее
и наименьшее значения, размах, дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов.
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные события (исходы). Вероятность
случайного события. Близость частоты и вероятности событий. Случайные опыты с равновозможными
элементарными событиями. Вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными
событиями.
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события. Диаграммы Эйлера.
Формула сложения вероятностей.
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного эксперимента. Формула полной
вероятности. Независимые события.
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число сочетаний. Треугольник
Паскаля. Формула бинома Ньютона.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые испытания. Серия независимых
испытаний до первого успеха. Серия независимых испытаний Бернулли.
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграмма распределения. Примеры распределений,
в том числе, геометрическое и биномиальное.
12 класс
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и стандартное
отклонение. Примеры применения математического ожидания, в том числе в задачах из повседневной
жизни. Математическое ожидание бинарной случайной величины. Математическое ожидание суммы
случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия геометрического и биномиального
распределений.
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе. Выборочный метод исследований.
Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плотности распределения. Задачи, приводящие к
нормальному распределению. Понятие о нормальном распределении.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
11класс
Виды
Электронны
Количество часов Дата
Виды деятельности
е ресурсы
контрол
всег контр практ
я
о
раб. раб.
Раздел 1. Представление данных и описательная статистика – 4 часа
1.1. Представление данных с
1
Извлекать информацию из таблиц и диаграмм,
https://ww
использовать таблицы и диаграммы для представления
помощью таблиц и диаграмм
w.yaklass.ru
статистических данных.
https://ww
1.2. Среднее арифметическое,
1
Находить описательные характеристики данных.
медиана
w.yaklass.ru
Выдвигать, критиковать гипотезы о характере случайной
1.3. Наибольшее и наименьшее
1
https://ww
изменчивости и определяющих её факторах
значения, размах, дисперсия,
w.yaklass.ru
стандартное отклонение
числовыхнаборов
1.4. Практическая работа
1
1
Практич https://ww
«Представление данных и
еская
w.yaklass.ru
описательная статистика»
работа;
Итого по разделу
4
Раздел 2. Случайные опыты и случайные события, опыты с равновозможными элементарными исходами – 3 часа
2.1. Случайные эксперименты
1
Выделять на примерах случайные события в описанном
https://ww
(опыты) и случайные
случайном опыте.
w.yaklass.ru
события. Элементарные
Формулировать условия проведения случайного опыта.
события (исходы)
Находить вероятности событий в опытах с равновозможными
исходами.
2.2. Вероятность случайного
1
https://ww
Моделировать опыты с равновозможными элементарными
события. Вероятности событий в
w.yaklass.ru
исходами в ходе практической работы
опытах с равновозможными
элементарными событиями.
2.3. Практическая работа «Случайны 1
1
Практиче https://ww
опыты и случайные события,
ская
w.yaklass.ru
опыты с равновозможными
работа
элементарными исходами»
Итого по разделу
3
Раздел 3. Операции над событиями, сложение вероятностей – 3 часа
3.1. Операции над событиями:
1
Использовать диаграммы Эйлера и словесное описание
https://ww
пересечение, объединение
событий для формулировки и изображения объединения и
w.yaklass.ru
№
Наименование разделов и тем
программы
пересечения событий
событий, противоположные
события
Решать задачи с использованием формулы сложения
вероятностей
3.2. Диаграммы Эйлера
1
3.3. Формула сложения
1
вероятностей
Итого по разделу:
3
Раздел 4. Условная вероятность, дерево случайного опыта, формула полной вероятности и независимость событий – 6 часов
4.1. Условная вероятность
1
Решать задачи на нахождение вероятностей событий, в том
числе условных с помощью дереваслучайного опыта.
4.2. Умножение вероятностей
1
Определять независимость событий по формуле и по
организации случайного опыта
4.3. Дерево случайного
1
эксперимента
4.4. Формула полной вероятности 1
4.5. Независимые события
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
1
4.6. Практическая работа
1
«Условнаявероятность, дерево
случайного опыта, формула
полной вероятности и
независимость событий»
Итого по разделу:
6
Раздел 5. Элементы комбинаторики – 4 часа
5.1. Комбинаторное правило
1
умножения.
5.2. Перестановки и факториал
1
5.3. Число сочетаний. Треугольник
Паскаля
5.4. Формула бинома Ньютона
https://ww
w.yaklass.ru
Практ
ическа
я
работа
1
Использовать правило умножения для перечисления событий в
случайном опыте.
Пользоваться формулой и треугольником Паскаля для
определения числа сочетаний
1
1
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
Итого по разделу:
4
Раздел 6. Серии последовательных испытаний – 3 часа
6.1. Бинарный случайный опыт
(испытание), успех и неудача
1
Разбивать сложные эксперименты на отдельные испытания.
Осваивать понятия: испытание, серия независимых
https://ww
w.yaklass.ru
испытаний.
6.2. Независимые испытания.
1
Серия независимых испытаний
до первого успеха. Серия
независимых испытаний
Бернулли.
6.3. Практическая работа с
1
1
1
использованием электронных
таблиц по теме: «Серии
последовательных испытаний»
Итого по разделу:
3
Раздел 7. Случайные величины и распределения – 6 часов
7.1 Случайная величина
1
7.2 Распределение вероятностей
1
7.3 Диаграмма распределения
1
7.4 Сумма и произведение
1
случайных величин
7.5 Примеры распределений, в том 2
числе геометрическое и
биномиальное
Итого по разделу:
6
Раздел 8. Обобщение и систематизация знаний – 5 часов
8.1. Описательная статистика
1
8.2
8.3
8.4
8.5
Случайные опыты и
вероятности случайных
событий
Операции надсобытиями
1
Элементы комбинаторики,
серии независимых испытаний
Итоговая контрольная работа
1
Итого по разделу:
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ
Приводить примеры серий независимых испытаний.
Решать задачи на поиск вероятностей событий в серии
испытаний до первого успеха и в сериях испытаний
Бернулли.
Изучать в ходе практической работы с использованием
электронных таблиц вероятности событий в сериях
независимых испытаний
https://ww
w.yaklass.ru
Практич https://ww
w.yaklass.ru
еская
работа;
Осваивать понятия: случайная величина, распределение,
таблица распределения, диаграммараспределения.
Приводить примеры распределений, в том числе
геометрического и биномиального.
Сравнивать распределения случайных величин
Находить значения суммы и произведения случайных величин.
Строить и распознавать геометрическое и биномиальное
распределение
https://ww
w.yaklass.ru
Повторять изученное и выстраивать систему знаний
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
1
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
1
1
5
34
1
1
контр.
работа
4
12класс
№
Наименование разделов и тем
Количество часов Дата
всего контр. прак.
работ работ
Виды деятельности
Раздел 1. Повторение, обобщение и систематизация знаний – 4 часа
1.1. Случайные опыты и вероятности 2
Повторять изученное и выстраивать систему знаний
случайных событий
1.2. Серии независимых испытаний 1
1.3. Случайные величины и
1
распределения
Итого по разделу
4
Раздел 2. Математическое ожидание случайной величины – 4 часа
2.1. Примеры применения
1
Осваивать понятие математического ожидания.
математического ожидания
Приводить и обсуждать примеры применения
(страхование, лотерея).
математического ожидания. Вычислять математическое
ожидание.
2.2. Математическое ожидание
1
Использовать понятие математического ожидания и его
суммы случайных величин
свойства при решении задач. Находить по известным
2.3. Математическое ожидание
2
формулам математическое ожидание суммы случайных
геометрического и
величин. Находить по известным формулам математические
биномиального
ожидания случайных величин, имеющихгеометрическое и
распределений
биномиальное распределения
Итого по разделу
4
Раздел 3. Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины – 4 часа
3.2. Дисперсии геометрического и 2
Осваивать понятия: дисперсия, стандартное отклонение
биномиального распределения.
случайной величины. Находить дисперсию по распределению
3.3. Практическая работа с
1
1
использованием электронных
таблиц по теме: «Дисперсия и
стандартное отклонение
случайной величины»
Итого по разделу:
4
Раздел 4. Закон больших чисел – 3 часа
Виды,
Электронны
е
формы
контроля образователь
ныересурсы
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
Практичес https://ww
каяработа w.yaklass.ru
Практи
ческая
работа
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
4.1. Закон больших чисел
1
Знакомиться с выборочным методом исследования
совокупности данных.
Изучать в ходе практической работы с использованием
электронных таблиц применение выборочного метода
исследования
4.2. Выборочный метод
1
исследований
4.6. Практическая работа с
1
Практи
использованием электронных
1
ческая
таблиц по теме: «Закон больших
работа
чисел»
Итого по разделу:
3
Раздел 5. Непрерывные случайные величины (распределения) – 2 часа
5.1. Примеры непрерывных
1
Осваивать понятия: непрерывная случайная величина,
случайныхвеличин. Функция
непрерывное распределение, функция плотности вероятности.
плотности распределения.
Приводить примеры непрерывных случайных величин.
Находить вероятности событий по данной функции плотности,
5.2. Равномерное распределение
1
в том числе равномерного распределения
и его свойства
Итого по разделу:
2
Раздел 6. Нормальное распределение – 2 часа
Осваивать понятия: нормальное распределение.
6.1. Задачи, приводящие к
1
Выделять по описанию случайные величины, распределённые
нормальному распределению.
по нормальному закону. Приводить примеры задач,
Функция плотности и свойства
приводящих к нормальному распределению. Находить
нормального распределения
числовыехарактеристики нормального распределения по
6.2. Практическая работа с
1
1
известным формулам. Решать задачи, связанные с
использованием электронных
применением свойств нормального распределений, в том
таблиц по теме: «Нормальное
числе сиспользованием электронных таблиц
распределения»
Итого по разделу:
2
Раздел 7. Повторение, обобщение и систематизация знаний – 15 часов
7.1 Представление данных с
3
Повторять изученное и выстраивать систему знаний
помощьютаблиц и диаграмм
7.2 Описательная статистика
2
7.3
7.4
Опыты с равновозможными
2
элементарными событиями
Вычисление вероятностей
3
событий с применением формул
графических методов
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.r u
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
https://ww
w.yaklass.ru
(координатная прямая, дерево,
диаграмма Эйлера)
7.5
7.6
7.7
Случайные величины и
распределения
Математическое ожидание
случайной величины
Итоговая контрольная работа
2
2
1
Итого по разделу:
15
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО 34
ПРОГРАММЕ
контрольн
работа
1
1
1
3
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ, 11 класс
№
п/п
дата
план
Тема урока
факт
Представление данных и описательная статистика – 4 часа
1.
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм
2.
Среднее арифметическое, медиана
3.
Наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное
отклонение числовыхнаборов
4.
Практическая работа по теме «Представление данных и описательная
статистика»
Случайные опыты и случайные события, опыты с равновозможными элементарными исходами
– 3 часа
5.
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события.
Элементарные события (исходы)
6.
Вероятность случайного события. Вероятности событий в опытах с
равновозможными элементарными событиями
7.
Практическая работа по теме «Случайные опыты и случайные
события, опыты с равновозможными элементарными исходами»
Операции над событиями, сложение вероятностей – 3 часа
8.
Операции над событиями: пересечение, объединение событий,
противоположные события
9.
Диаграммы Эйлера
10.
Формула сложения вероятностей
Условная вероятность, дерево случайного опыта, формула полной вероятности и
независимость событий – 6 часов
11.
Условная вероятность
12.
Умножение вероятностей
13.
Дерево случайного эксперимента
14.
Формула полной вероятности
15.
Независимые события
Практическая работа «Условная вероятность, дерево случайного
16.
опыта, формула полной вероятности и независимость событий»
Элементы комбинаторики – 4 часа
17.
Комбинаторное правило умножения
18.
Перестановки и факториал
19.
Число сочетаний. Треугольник Паскаля
20.
Формула бинома Ньютона
Серии последовательных испытаний – 3 часа
21.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача
22.
Независимые испытания. Серия независимых испытаний до первого
успеха. Серия независимых испытаний Бернулли
23.
Практическая работа по теме: «Серии последовательных испытаний»
Случайные величины и распределения – 6 часов
24.
Случайная величина
25.
Распределение вероятностей
26.
Диаграмма распределения
27.
Сумма и произведениеслучайных величин
28.
Примеры распределений
29.
Геометрическое и биномиальное распределение
Обобщение и систематизация знаний – 5 часов
30.
Описательная статистика
31.
Случайные опыты и вероятности случайных событий
32.
Операции надсобытиями
Итоговая контрольная работа
Элементы комбинаторики, серии независимых испытаний
33
34
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ, 12 класс
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33
34
дата
план
Тема урока
факт
Повторение, обобщение и систематизация знаний – 4 часа
Случайные опыты
Случайные вероятности случайных событий
Серии независимых испытаний
Случайные величины и распределения
Математическое ожидание случайной величины – 4 часа
Примеры применения математического ожидания (страхование,
лотерея)
Математическое ожидание суммы случайных величин
Математическое ожидание геометрического распределения
Математическое ожидание биномиального распределения
Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины – 4 часа
Дисперсия, стандартное отклонение случайной величины
Дисперсия геометрического распределения
Дисперсия биномиального распределения
Практическая работа по теме: «Дисперсия и стандартное
отклонениеслучайной величины»
Закон больших чисел – 3 часа
Закон больших чисел
Выборочный метод исследований
Практическая работа по теме: «Закон больших чисел»
Непрерывные случайные величины (распределения) – 2 часа
Примеры непрерывных случайныхвеличин. Функция плотности
распределения
Равномерное распределение и его свойства
Нормальное распределение – 2 часа
Функция плотности и свойства нормального распределения
Практическая работа по теме: «Нормальное распределения»
Повторение, обобщение и систематизация знаний – 15 часов
Представление данных с помощьютаблиц
Представление данных с помощьюдиаграмм
Описательная статистика
Опыты с равновозможнымиэлементарными событиями
Вычисление вероятностей событий с применением формул
Вычисление вероятностей событий графическим методом
Вычисление вероятностей событий с применением координатной
прямой, дерева, диаграммы Эйлера)
Случайные величины и распределения
Математическое ожидание случайной величины
Перестановки и факториал
Число сочетаний. Треугольник Паскаля
Формула бинома Ньютона
Операции надсобытиями
Итоговая контрольная работа
Результаты контрольной работы
Проверяемые требования к результатам освоения основной
образовательной программы (11 класс)
Код
проверяемого
результата
1
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Числа и вычисления
1.1
Оперировать понятиями: рациональное и действительное число,
обыкновенная и десятичная дробь, проценты
1.2
Выполнять
арифметические
операции
с
рациональными
и
действительными числами
1.3
Выполнять
приближенные
вычисления,
используя
правила
округления, делать прикидку и оценку результата вычислений
1.4
Оперировать понятиями: степень с целым показателем, стандартная
форма записи действительного числа, корень натуральной степени;
использовать подходящую форму записи действительных чисел для
решения практических задач и представления данных
1.5
Оперировать понятиями: синус, косинус и тангенс произвольного
угла; использовать запись произвольного угла через обратные
тригонометрические функции
2
Уравнения и неравенства
2.1
Оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство, целое,
рациональное,
иррациональное
уравнение,
неравенство,
тригонометрическое уравнение
2.2
Выполнять преобразования тригонометрических выражений и решать
тригонометрические уравнения
2.3
Выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных
выражений и решать основные типы целых, рациональных и
иррациональных уравнений и неравенств
2.4
Применять уравнения и неравенства для решения математических
задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
2.5
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры
3
Функции и графики
3.1
Оперировать понятиями: функция, способы задания функции, область
определения и множество значений функции, график функции,
взаимно обратные функции
3.2
Оперировать понятиями: четность и нечетность функции, нули
функции, промежутки знакопостоянства
3.3
Использовать графики функций для решения уравнений
3.4
Строить и читать графики линейной функции, квадратичной
функции, степенной функции с целым показателем
3.5
Использовать графики функций для исследования процессов и
зависимостей при решении задач из других учебных предметов и
реальной жизни, выражать формулами зависимости между
величинами
4
Начала математического анализа
4.1
Оперировать понятиями: последовательность,
геометрическая прогрессии
4.2
Оперировать понятиями: бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия, сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии
4.3
Задавать последовательности различными способами
4.4
Использовать свойства последовательностей и прогрессий
решения реальных задач прикладного характера
5
арифметическая и
для
Множества и логика
5.1
Оперировать понятиями: множество, операции над множествами
5.2
Использовать теоретико-множественный аппарат для описания
реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных
предметов
5.3
Оперировать
понятиями:
доказательство
6
определение,
теорема,
следствие,
Теория вероятностей и статистика
6.1
Читать и строить таблицы и диаграммы
6.2
Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее, наименьшее значение, размах массива числовых данных
6.3
Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное
событие, элементарное событие (элементарный исход) случайного
опыта; находить вероятности в опытах с равновозможными
случайными событиями, находить и сравнивать вероятности событий
в изученных случайных экспериментах
6.4
Находить и формулировать события: пересечение и объединение
данных событий, событие, противоположное данному событию;
пользоваться диаграммами Эйлера и формулой сложения
вероятностей при решении задач
6.5
Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые
события; находить вероятности с помощью правила умножения, с
помощью дерева случайного опыта
6.6
Применять комбинаторное правило умножения при решении задач
6.7
Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия
испытаний, успех и неудача; находить вероятности событий в серии
независимых испытаний до первого успеха, находить вероятности
событий в серии испытаний Бернулли
6.8
Оперировать понятиями: случайная
вероятностей, диаграмма распределения
7
величина,
распределение
Геометрия
7.1
Оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость
7.2
Применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении
геометрических задач
7.3
Оперировать понятиями: параллельность
прямых и плоскостей
7.4
Классифицировать взаимное расположение прямых и плоскостей в
пространстве
7.5
Оперировать понятиями: двугранный угол, грани двугранного угла,
ребро двугранного угла, линейный угол двугранного угла, градусная
мера двугранного угла
7.6
Оперировать понятиями: многогранник, выпуклый и невыпуклый
многогранник, элементы многогранника, правильный многогранник
7.7
Распознавать основные виды многогранников (пирамида, призма,
прямоугольный параллелепипед, куб)
7.8
Классифицировать многогранники, выбирая основания для
классификации (выпуклые и невыпуклые многогранники, правильные
многогранники, прямые и наклонные призмы, параллелепипеды)
7.9
Оперировать понятиями: секущая плоскость, сечение многогранников
и перпендикулярность
7.10
Объяснять принципы построения сечений многогранников, используя
метод следов
7.11
Строить сечения многогранников методом следов, выполнять
(выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур:
вид сверху, сбоку, снизу
7.12
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам
или алгоритмам, применяя известные аналитические методы при
решении стандартных математических задач на вычисление
расстояний между двумя точками, от точки до прямой, от точки до
плоскости, между скрещивающимися прямыми
7.13
Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам
или алгоритмам, применяя известные аналитические методы при
решении стандартных математических задач на вычисление углов
между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью,
между плоскостями, двугранных углов
7.14
Вычислять объемы и площади поверхностей многогранников
(призма, пирамида) с применением формул, вычислять соотношения
между
площадями
многогранников
поверхностей,
объемами
подобных
7.15
Оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и
плоскость симметрии, центр, ось и плоскость симметрии фигуры
7.16
Извлекать, преобразовывать и интерпретировать информацию о
пространственных геометрических фигурах, представленную на
чертежах и рисунках
7.17
Применять геометрические факты для решения стереометрических
задач, предполагающих несколько шагов решения, если условия
применения заданы в явной форме
7.18
Применять простейшие программные средства и электроннокоммуникационные системы при решении стереометрических задач
7.19
Приводить примеры математических закономерностей в природе и
жизни, распознавать проявление законов геометрии в искусстве
7.20
Применять полученные знания на практике: анализировать реальные
ситуации и применять изученные понятия в процессе поиска решения
математически сформулированной проблемы, моделировать реальные
ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с
использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры,
решать
практические
задачи,
связанные
с
нахождением
геометрических величин
Таблица 4.1
Проверяемые элементы содержания (11 класс)
Код
1
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
1.1
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби. Арифметические операции с
рациональными
числами,
преобразования
числовых
выражений.
Применение дробей и процентов для решения прикладных задач из
различных отраслей знаний и реальной жизни
1.2
Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа.
Арифметические операции с действительными числами. Приближенные
вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата
вычислений
1.3
Степень с целым показателем. Стандартная форма записи действительного
числа. Использование подходящей формы записи действительных чисел
для решения практических задач и представления данных
1.4
Арифметический
корень
натуральной
степени.
арифметическими корнями натуральной степени
1.5
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
2
Действия
с
Уравнения и неравенства
2.1
Тождества и тождественные преобразования
2.2
Преобразование
тригонометрических
тригонометрические формулы
2.3
Уравнение, корень уравнения. Неравенство, решение неравенства. Метод
интервалов
2.4
Решение целых и дробно-рациональных уравнений и неравенств
2.5
Решение иррациональных уравнений и неравенств
2.6
Решение тригонометрических уравнений
2.7
Применение уравнений и неравенств к решению математических задач и
задач из различных областей науки и реальной жизни
3
выражений.
Основные
Функции и графики
3.1
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции
3.2
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Четные и нечетные функции
3.3
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Ее свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени
3.4
Тригонометрическая
окружность,
функций числового аргумента
4
определение
тригонометрических
Начала математического анализа
4.1
Последовательности, способы задания последовательностей. Монотонные
последовательности
4.2
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии. Формула сложных процентов. Использование прогрессии для
решения реальных задач прикладного характера
5
Множества и логика
5.1
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера - Венна.
Применение теоретико-множественного аппарата для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов
5.2
Определение, теорема, следствие, доказательство
6
Теория вероятностей и статистика
6.1
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Среднее
арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах,
дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов
6.2
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события. Элементарные
события (исходы). Вероятность случайного события. Близость частоты и
вероятности
событий.
Случайные
опыты
с
равновозможными
элементарными событиями. Вероятности событий в опытах с
равновозможными элементарными событиями
6.3
Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные
события. Диаграммы Эйлера. Формула сложения вероятностей
6.4
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево случайного
эксперимента. Формула полной вероятности. Независимые события
6.5
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал. Число
сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона
6.6
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Независимые
испытания. Серия независимых испытаний до первого успеха. Серия
независимых испытаний Бернулли
6.7
Случайная
величина.
Распределение
вероятностей.
Диаграмма
распределения. Примеры распределений, в том числе геометрическое и
биномиальное
7
Геометрия
7.1
Основные понятия стереометрии. Точка, прямая, плоскость, пространство.
Понятие об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы
стереометрии и следствия из них
7.2
Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся,
параллельные и скрещивающиеся прямые. Параллельность прямых и
плоскостей в пространстве: параллельные прямые в пространстве,
параллельность трех прямых, параллельность прямой и плоскости. Углы с
сонаправленными сторонами, угол между прямыми в пространстве.
Параллельность
плоскостей:
параллельные
плоскости,
свойства
параллельных плоскостей. Простейшие пространственные фигуры на
плоскости: тетраэдр, куб, параллелепипед, построение сечений
7.3
Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в
пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости,
признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой
перпендикулярной плоскости. Углы в пространстве: угол между прямой и
плоскостью, двугранный угол, линейный угол двугранного угла.
Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние
от прямой до плоскости, проекция
Перпендикулярность плоскостей: признак
плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах
фигуры на плоскость.
перпендикулярности двух
7.4
Понятие многогранника, основные элементы многогранника, выпуклые и
невыпуклые многогранники, развертка многогранника. Призма: n-угольная
призма, грани и основания призмы, прямая и наклонная призмы, боковая и
полная
поверхность
призмы.
Параллелепипед,
прямоугольный
параллелепипед и его свойства. Пирамида: n-угольная пирамида, грани и
основание пирамиды, боковая и полная поверхность пирамиды, правильная
и усеченная пирамида. Элементы призмы и пирамиды. Правильные
многогранники: понятие правильного многогранника, правильная призма и
правильная пирамида, правильная треугольная пирамида и правильный
тетраэдр, куб. Представление о правильных многогранниках: октаэдр,
додекаэдр и икосаэд Сечения призмы и пирамиды
7.5
Симметрия в пространстве: симметрия относительно точки, прямой,
плоскости. Элементы симметрии в пирамидах, параллелепипедах,
правильных многогранниках
7.6
Вычисление элементов многогранников: ребра, диагонали, углы. Площадь
боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь
оснований, теорема о боковой поверхности прямой призмы. Площадь
боковой поверхности и поверхности правильной пирамиды, теорема о
площади усеченной пирамиды. Понятие об объеме. Объем пирамиды,
призмы
7.7
Подобные тела в пространстве. Соотношения
поверхностей, объемами подобных тел
между
площадями
Таблица 4.2
Проверяемые требования к результатам освоения основной
образовательной программы (12 класс)
Код
проверяемого
результата
1
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Числа и вычисления
1.1
Оперировать понятиями: натуральное, целое число; использовать
признаки делимости целых чисел, разложение числа на простые
множители для решения задач
1.2
Оперировать понятием: степень с рациональным показателем
1.3
Оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и натуральные
логарифмы
2
Уравнения и неравенства
2.1
Применять свойства степени для преобразования выражений,
оперировать понятиями: показательное уравнение и неравенство;
решать основные типы показательных уравнений и неравенств
2.2
Выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы;
оперировать понятиями: логарифмическое уравнение и неравенство;
решать основные типы логарифмических уравнений и неравенств
2.3
Находить решения простейших тригонометрических неравенств
2.4
Оперировать понятиями: система линейных уравнений и ее решение;
использовать систему линейных уравнений для решения
практических задач
2.5
Находить
решения
простейших
систем
рациональных уравнений и неравенств
2.6
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства и системы по условию задачи,
исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
3
и
совокупностей
Функции и графики
3.1
Оперировать понятиями: периодическая функция, промежутки
монотонности функции, точки экстремума функции, наибольшее и
наименьшее значения функции на промежутке; использовать их для
исследования функции, заданной графиком
3.2
Оперировать понятиями: графики показательной, логарифмической и
тригонометрических функций; изображать их на координатной
плоскости и использовать для решения уравнений и неравенств
3.3
Изображать на координатной плоскости графики линейных
уравнений и использовать их для решения системы линейных
уравнений
3.4
Использовать графики функций для исследования процессов и
зависимостей из других учебных дисциплин
4
Начала математического анализа
4.1
Оперировать понятиями: непрерывная функция, производная
функции; использовать геометрический и физический смысл
производной для решения задач
4.2
Находить
производные
элементарных
функций,
производные суммы, произведения, частного функций
4.3
Использовать производную для исследования функции на
монотонность и экстремумы, применять результаты исследования к
построению графиков
4.4
Использовать производную для нахождения наилучшего решения в
прикладных, в том числе социально-экономических, задачах
4.5
Оперировать понятиями: первообразная и интеграл;
геометрический и физический смысл интеграла
4.6
Находить первообразные элементарных функций, вычислять интеграл
по формуле Ньютона - Лейбница
4.7
Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и
физического характера, средствами математического анализа
5
вычислять
понимать
Теория вероятностей и статистика
5.1
Сравнивать вероятности значений случайной
распределению или с помощью диаграмм
5.2
Оперировать понятием математического ожидания, приводить
примеры того, как применяется математическое ожидание случайной
величины, находить математическое ожидание по данному
распределению
5.3
Иметь представление о законе больших чисел
5.4
Иметь представление о нормальном распределении
6
величины
по
Геометрия
6.1
Оперировать понятиями: цилиндрическая поверхность, образующие
цилиндрической поверхности, цилиндр, коническая поверхность,
образующие
конической
поверхности,
конус,
сферическая
поверхность
6.2
Распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар)
6.3
Объяснять способы получения тел вращения
6.4
Классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости
6.5
Оперировать понятиями: шаровой сегмент, основание сегмента,
высота сегмента, шаровой слой, основание шарового слоя, высота
шарового слоя, шаровой сектор
6.6
Вычислять объемы и площади поверхностей
геометрических тел с применением формул
6.7
Оперировать понятиями: многогранник, вписанный в сферу и
описанный около сферы, сфера, вписанная в многогранник или тело
вращения
6.8
Вычислять соотношения между площадями поверхностей и объемами
подобных тел
6.9
Изображать изучаемые фигуры от руки и с применением простых
чертежных инструментов
6.10
Выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых
объемных фигур: вид сверху, сбоку, снизу; строить сечения тел
вращения
6.11
Извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о
пространственных геометрических фигурах, представленную на
чертежах и рисунках
6.12
Применять геометрические факты для решения стереометрических
задач, предполагающих несколько шагов решения, если условия
применения заданы в явной форме
6.13
Оперировать понятием: вектор в пространстве
6.14
Выполнять действия сложения векторов, вычитания векторов и
умножения вектора на число, объяснять, какими свойствами они
обладают
6.15
Применять правило параллелепипеда при сложении векторов
6.16
Оперировать понятиями: декартовы координаты в пространстве,
вектор, модуль вектора, равенство векторов, координаты вектора,
угол между векторами, скалярное произведение векторов,
коллинеарные и компланарные векторы
6.17
Находить сумму векторов и произведение вектора на число, угол
между векторами, скалярное произведение, раскладывать вектор по
двум неколлинеарным векторам
6.18
Задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат
тел
вращения,
6.19
Решать простейшие геометрические задачи на применение векторнокоординатного метода
6.20
Решать задачи на доказательство математических отношений и
нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам,
применяя
известные
методы
при
решении
стандартных
математических задач
6.21
Применять простейшие программные средства и электроннокоммуникационные системы при решении стереометрических задач
6.22
Приводить примеры математических закономерностей в природе и
жизни, распознавать проявление законов геометрии в искусстве
6.23
Применять полученные знания на практике: анализировать реальные
ситуации и применять изученные понятия в процессе поиска решения
математически сформулированной проблемы, моделировать реальные
ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с
использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры,
решать
практические
задачи,
связанные
с
нахождением
геометрических величин
Таблица 4.3
Проверяемые элементы содержания (12 класс)
Код
1
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
1.1
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
1.2
Степень с рациональным показателем. Свойства степени
1.3
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
2
Уравнения и неравенства
2.1
Преобразование выражений, содержащих логарифмы
2.2
Преобразование
показателем
2.3
Примеры тригонометрических неравенств
2.4
Показательные уравнения и неравенства
2.5
Логарифмические уравнения и неравенства
2.6
Системы линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью
системы линейных уравнений
выражений,
содержащих
степени
с
рациональным
2.7
Системы и совокупности рациональных уравнений и неравенств
2.8
Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических
задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
3
Функции и графики
3.1
Функция. Периодические функции. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
3.2
Тригонометрические функции, их свойства и графики
3.3
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
3.4
Использование графиков функций для решения уравнений и линейных
систем
3.5
Использование
графиков
функций
для
исследования
процессов
и
зависимостей, которые возникают при решении задач из других учебных
предметов и реальной жизни
4
Начала математического анализа
4.1
Непрерывные функции. Метод интервалов для решения неравенств
4.2
Производная функции. Геометрический и физический смысл производной
4.3
Производные элементарных функций. Формулы нахождения производной
суммы, произведения и частного функций
4.4
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
на отрезке
4.5
Применение производной для нахождения наилучшего решения в
прикладных задачах, для определения скорости процесса, заданного
формулой или графиком
4.6
Первообразная. Таблица первообразных
4.7
Интеграл, его геометрический и физический смысл. Вычисление интеграла
по формуле Ньютона - Лейбница
5
5.1
Теория вероятностей и статистика
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание,
дисперсия
и
стандартное
отклонение.
Примеры
применения
математического ожидания, в том числе в задачах из повседневной жизни.
Математическое ожидание бинарной случайной величины. Математическое
ожидание суммы случайных величин. Математическое ожидание и
дисперсия геометрического и биномиального распределений
5.2
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе. Выборочный
метод исследований
5.3
Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плотности
распределения. Задачи, приводящие к нормальному распределению.
Понятие о нормальном распределении
6
Геометрия
6.1
Цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической поверхности,
ось цилиндрической поверхности. Цилиндр: основания и боковая
поверхность, образующая и ось, площадь боковой и полной поверхности
6.2
Коническая поверхность, образующие конической поверхности, ось и
вершина конической поверхности. Конус: основание и вершина,
образующая и ось, площадь боковой и полной поверхности. Усеченный
конус: образующие и высота, основания и боковая поверхность
6.3
Сфера и шар: центр, радиус, диаметр, площадь поверхности сферы.
Взаимное расположение сферы и плоскости, касательная плоскость к сфере,
площадь сферы
6.4
Изображение тел вращения на плоскости. Развертка цилиндра и конуса
6.5
Комбинации тел вращения и многогранников. Многогранник, описанный
около сферы, сфера, вписанная в многогранник, или тело вращения
6.6
Понятие об объеме. Основные свойства объемов тел. Теорема об объеме
прямоугольного параллелепипеда и следствия из нее. Объем цилиндра,
конуса. Объем шара и площадь сферы
6.7
Подобные тела в пространстве. Соотношения
поверхностей, объемами подобных тел
6.8
Сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса
(параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара
6.9
Вектор на плоскости и в пространстве. Сложение и вычитание векторов.
Умножение вектора на число. Разложение вектора по трем некомпланарным
векторам. Правило параллелепипеда. Решение задач, связанных с
применением правил действий с векторами
6.10
Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора.
Простейшие задачи в координатах. Угол между векторами. Скалярное
произведение векторов. Вычисление углов между прямыми и плоскостями.
Координатно-векторный метод при решении геометрических задач
между
площадями
Для проведения единого государственного экзамена по математике (далее - ЕГЭ по
математике) используется перечень (кодификатор) проверяемых требований к результатам
освоения основной образовательной программы среднего общего образования и элементов
содержания. При проведении ЕГЭ по математике базового уровня из перечня (кодификатора)
выбираются позиции, соответствующие федеральной рабочей программе по математике (базовый
уровень)
Таблица 4.4
Проверяемые на ЕГЭ по математике требования
к результатам освоения основной образовательной программы
среднего общего образования
Код
проверяемого
требования
Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего образования
1
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач;
умение формулировать и оперировать понятиями: определение,
аксиома, теорема, следствие, свойство, признак, доказательство,
равносильные формулировки; применять их; умение формулировать
обратное и противоположное утверждение, приводить примеры и
контрпримеры, использовать метод математической индукции;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать
логическую правильность рассуждений; умение оперировать
понятиями: множество, подмножество, операции над множествами;
умение использовать теоретико-множественный аппарат для
описания реальных процессов и явлений и при решении задач, в том
числе из других учебных предметов; умение оперировать понятиями:
граф, связный граф, дерево, цикл, граф на плоскости; умение задавать
и описывать графы различными способами; использовать графы при
решении задач
2
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число,
степень с целым показателем, корень натуральной степени, степень с
рациональным показателем, степень с действительным показателем,
логарифм числа, синус, косинус и тангенс произвольного числа,
остаток по модулю, рациональное число, иррациональное число,
множества натуральных, целых, рациональных, действительных
чисел; умение использовать признаки делимости, наименьший общий
делитель и наименьшее общее кратное, алгоритм Евклида при
решении задач; знакомство с различными позиционными системами
счисления; умение выполнять вычисление значений и преобразования
выражений со степенями и логарифмами, преобразования дробнорациональных выражений; умение оперировать понятиями:
последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая
прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия;
умение задавать последовательности, в том числе с помощью
рекуррентных формул; умение оперировать понятиями: комплексное
число, сопряженные комплексные числа, модуль и аргумент
комплексного
числа,
форма
записи
комплексных
чисел
(геометрическая, тригонометрическая и алгебраическая); уметь
производить арифметические действия с комплексными числами;
приводить примеры использования комплексных чисел; оперировать
понятиями: матрица 2 x 2 и 3 x 3, определитель матрицы,
геометрический смысл определителя
3
Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные,
показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические
уравнения и неравенства, их системы; умение оперировать
понятиями: тождество, тождественное преобразование, уравнение,
неравенство, система уравнений и неравенств, равносильность
уравнений, неравенств и систем; умение решать уравнения,
неравенства и системы с помощью различных приемов; решать
уравнения, неравенства и системы с параметром; применять
уравнения, неравенства, их системы для решения математических
задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
4
Умение оперировать понятиями: функция, четность функции,
периодичность функции, ограниченность функции, монотонность
функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения
функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика
функции, первая и вторая производная функции, геометрический и
физический смысл производной, первообразная, определенный
интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение
вычислять производные суммы, произведения, частного и
композиции функций, находить уравнение касательной к графику
функции; умение находить производные элементарных функций;
умение использовать производную для исследования функций,
находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить
графики многочленов с использованием аппарата математического
анализа; применять производную для нахождения наилучшего
решения в прикладных, в том числе социально-экономических и
физических задачах; находить площади и объемы фигур с помощью
интеграла; приводить примеры математического моделирования с
помощью дифференциальных уравнений
5
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция,
композиция функций, линейная функция, квадратичная функция,
рациональная функция, степенная функция, тригонометрические
функции, обратные тригонометрические функции, показательная и
логарифмическая функции; умение строить графики изученных
функций,
выполнять
преобразования
графиков
функций,
использовать графики для изучения процессов и зависимостей, при
решении задач из других учебных предметов и задач из реальной
жизни; выражать формулами зависимости между величинами;
использовать свойства и графики функций для решения уравнений,
неравенств и задач с параметрами; изображать на координатной
плоскости множества решений уравнений, неравенств и их систем
6
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на
проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и
услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными
финансами); составлять выражения, уравнения, неравенства и их
системы по условию задачи, исследовать полученное решение и
оценивать правдоподобность результатов; умение моделировать
реальные ситуации на языке математики; составлять выражения,
уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры,
интерпретировать полученный результат
7
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное
отклонение числового набора; умение извлекать, интерпретировать
информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках,
отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять
информацию с помощью таблиц и диаграмм; исследовать
статистические данные, в том числе с применением графических
методов и электронных средств; графически исследовать совместные
наблюдения с помощью диаграмм рассеивания и линейной регрессии
8
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное
событие, вероятность случайного события; умение вычислять
вероятность с использованием графических методов; применять
формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной
вероятности, формулу Бернулли, комбинаторные факты и формулы;
оценивать вероятности реальных событий; умение оперировать
понятиями: случайная величина, распределение вероятностей,
математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
случайной величины, функции распределения и плотности
равномерного, показательного и нормального распределений; умение
использовать свойства изученных распределений для решения задач;
знакомство с понятиями: закон больших чисел, методы выборочных
исследований; умение приводить примеры проявления закона
больших чисел в природных и общественных явлениях; умение
оперировать понятиями: сочетание, перестановка, число сочетаний,
число перестановок; бином Ньютона; умение применять
комбинаторные факты и рассуждения для решения задач; оценивать
вероятности реальных событий; составлять вероятностную модель и
интерпретировать полученный результат
9
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость,
пространство, отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный
угол, трехгранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и
перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямыми,
угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями,
расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми,
расстояние между плоскостями; умение использовать при решении
задач изученные факты и теоремы планиметрии; умение оценивать
размеры объектов окружающего мира; строить математические
модели с помощью геометрических понятий и величин, решать
связанные с ними практические задачи
10
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объем фигуры,
многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника,
куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность
вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь
поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объем куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
конуса, шара, развертка поверхности, сечения конуса и цилиндра,
параллельные оси или основанию, сечение шара, плоскость,
касающаяся сферы, цилиндра, конуса; умение строить сечение
многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности
вращения, их сечения, в том числе с помощью электронных средств;
умение применять свойства геометрических фигур, самостоятельно
формулировать определения изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о
свойствах и признаках геометрических фигур, обосновывать или
опровергать их; умение проводить классификацию фигур по
различным признакам, выполнять необходимые дополнительные
построения
11
Умение
оперировать
понятиями:
движение
в
пространстве,
параллельный перенос, симметрия на плоскости и в пространстве,
поворот, преобразование подобия, подобные фигуры; умение
распознавать равные и подобные фигуры, в том числе в природе,
искусстве, архитектуре; использовать геометрические отношения при
решении задач; находить геометрические величины (длина, угол,
площадь, объем) при решении задач из других учебных предметов и
из реальной жизни; умение вычислять геометрические величины
(длина, угол, площадь, объем, площадь поверхности), используя
изученные формулы и методы, в том числе: площадь поверхности
пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, площадь сферы; объем куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
конуса, шара; умение находить отношение объемов подобных фигур
12
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат,
вектор, координаты точки, координаты вектора, сумма векторов,
произведение вектора на число, разложение вектора по базису,
скалярное произведение, векторное произведение, угол между
векторами; умение использовать векторный и координатный метод
для решения геометрических задач и задач других учебных предметов
13
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание
значимости математики в изучении природных и общественных
процессов и явлений; умение распознавать проявление законов
математики в искусстве, умение приводить примеры математических
открытий российской и мировой математической науки
Таблица 4.5
Перечень элементов содержания, проверяемых на ЕГЭ
по математике
Код
1
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
1.1
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
1.2
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
1.3
Арифметический
корень
натуральной
степени.
арифметическими корнями натуральной степени
1.4
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем.
Свойства степени
1.5
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
1.6
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
1.7
Действительные числа. Арифметические операции с действительными
числами. Приближенные вычисления, правила округления, прикидка и
оценка результата вычислений
1.8
Преобразование выражений
1.9
Комплексные числа
2
Действия
Уравнения и неравенства
2.1
Целые и дробно-рациональные уравнения
2.2
Иррациональные уравнения
2.3
Тригонометрические уравнения
2.4
Показательные и логарифмические уравнения
2.5
Целые и дробно-рациональные неравенства
2.6
Иррациональные неравенства
2.7
Показательные и логарифмические неравенства
2.8
Тригонометрические неравенства
2.9
Системы и совокупности уравнений и неравенств
2.10
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
2.11
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
3
3.1
с
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции
3.2
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
3.3
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Ее свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени
3.4
Тригонометрические функции, их свойства и графики
3.5
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
3.6
Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций,
непрерывных на отрезке
3.7
Последовательности, способы задания последовательностей
3.8
Арифметическая
процентов
4
и
геометрическая
прогрессии.
Формула
сложных
Начала математического анализа
4.1
Производная функции. Производные элементарных функций
4.2
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
на отрезке
4.3
Первообразная. Интеграл
5
Множества и логика
5.1
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера - Венна
5.2
Логика
6
Вероятность и статистика
6.1
Описательная статистика
6.2
Вероятность
6.3
Комбинаторика
7
Геометрия
7.1
Фигуры на плоскости
7.2
Прямые и плоскости в пространстве
7.3
Многогранники
7.4
Тела и поверхности вращения
Координаты и векторы
7.5
Для проведения единого государственного экзамена по математике (далее - ЕГЭ по
математике) используется перечень (кодификатор) проверяемых требований к результатам
освоения основной образовательной программы среднего общего образования и элементов
содержания.
Таблица 4.6
Проверяемые на ЕГЭ по математике требования
к результатам освоения основной образовательной программы
среднего общего образования
Код
проверяемого
Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего образования
требования
1
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач;
умение формулировать и оперировать понятиями: определение,
аксиома, теорема, следствие, свойство, признак, доказательство,
равносильные формулировки; применять их; умение формулировать
обратное и противоположное утверждение, приводить примеры и
контрпримеры, использовать метод математической индукции;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать
логическую правильность рассуждений; умение оперировать
понятиями: множество, подмножество, операции над множествами;
умение использовать теоретико-множественный аппарат для
описания реальных процессов и явлений и при решении задач, в том
числе из других учебных предметов; умение оперировать понятиями:
граф, связный граф, дерево, цикл, граф на плоскости; умение задавать
и описывать графы различными способами; использовать графы при
решении задач
2
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число,
степень с целым показателем, корень натуральной степени, степень с
рациональным показателем, степень с действительным показателем,
логарифм числа, синус, косинус и тангенс произвольного числа,
остаток по модулю, рациональное число, иррациональное число,
множества натуральных, целых, рациональных, действительных
чисел; умение использовать признаки делимости, наименьший общий
делитель и наименьшее общее кратное, алгоритм Евклида при
решении задач; знакомство с различными позиционными системами
счисления; умение выполнять вычисление значений и преобразования
выражений со степенями и логарифмами, преобразования дробнорациональных выражений; умение оперировать понятиями:
последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая
прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия;
умение задавать последовательности, в том числе с помощью
рекуррентных формул; умение оперировать понятиями: комплексное
число, сопряженные комплексные числа, модуль и аргумент
комплексного
числа,
форма
записи
комплексных
чисел
(геометрическая, тригонометрическая и алгебраическая); уметь
производить арифметические действия с комплексными числами;
приводить примеры использования комплексных чисел; оперировать
понятиями: матрица 2 x 2 и 3 x 3, определитель матрицы,
геометрический смысл определителя
3
Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные,
показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические
уравнения и неравенства, их системы; умение оперировать
понятиями: тождество, тождественное преобразование, уравнение,
неравенство, система уравнений и неравенств, равносильность
уравнений, неравенств и систем; умение решать уравнения,
неравенства и системы с помощью различных приемов; решать
уравнения, неравенства и системы с параметром; применять
уравнения, неравенства, их системы для решения математических
задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
4
Умение оперировать понятиями: функция, четность функции,
периодичность функции, ограниченность функции, монотонность
функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения
функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика
функции, первая и вторая производная функции, геометрический и
физический смысл производной, первообразная, определенный
интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение
вычислять производные суммы, произведения, частного и
композиции функций, находить уравнение касательной к графику
функции; умение находить производные элементарных функций;
умение использовать производную для исследования функций,
находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить
графики многочленов с использованием аппарата математического
анализа; применять производную для нахождения наилучшего
решения в прикладных, в том числе социально-экономических и
физических задачах; находить площади и объемы фигур с помощью
интеграла; приводить примеры математического моделирования с
помощью дифференциальных уравнений
5
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция,
композиция функций, линейная функция, квадратичная функция,
рациональная функция, степенная функция, тригонометрические
функции, обратные тригонометрические функции, показательная и
логарифмическая функции; умение строить графики изученных
функций,
выполнять
преобразования
графиков
функций,
использовать графики для изучения процессов и зависимостей, при
решении задач из других учебных предметов и задач из реальной
жизни; выражать формулами зависимости между величинами;
использовать свойства и графики функций для решения уравнений,
неравенств и задач с параметрами; изображать на координатной
плоскости множества решений уравнений, неравенств и их систем
6
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на
проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и
услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными
финансами); составлять выражения, уравнения, неравенства и их
системы по условию задачи, исследовать полученное решение и
оценивать правдоподобность результатов; умение моделировать
реальные ситуации на языке математики; составлять выражения,
уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры,
интерпретировать полученный результат
7
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное
отклонение числового набора; умение извлекать, интерпретировать
информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках,
отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять
информацию с помощью таблиц и диаграмм; исследовать
статистические данные, в том числе с применением графических
методов и электронных средств; графически исследовать совместные
наблюдения с помощью диаграмм рассеивания и линейной регрессии
8
Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное
событие, вероятность случайного события; умение вычислять
вероятность с использованием графических методов; применять
формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной
вероятности, формулу Бернулли, комбинаторные факты и формулы;
оценивать вероятности реальных событий; умение оперировать
понятиями: случайная величина, распределение вероятностей,
математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
случайной величины, функции распределения и плотности
равномерного, показательного и нормального распределений; умение
использовать свойства изученных распределений для решения задач;
знакомство с понятиями: закон больших чисел, методы выборочных
исследований; умение приводить примеры проявления закона
больших чисел в природных и общественных явлениях; умение
оперировать понятиями: сочетание, перестановка, число сочетаний,
число перестановок; бином Ньютона; умение применять
комбинаторные факты и рассуждения для решения задач; оценивать
вероятности реальных событий; составлять вероятностную модель и
интерпретировать полученный результат
9
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость,
пространство, отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный
угол, трехгранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и
перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямыми,
угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями,
расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми,
расстояние между плоскостями; умение использовать при решении
задач изученные факты и теоремы планиметрии; умение оценивать
размеры объектов окружающего мира; строить математические
модели с помощью геометрических понятий и величин, решать
связанные с ними практические задачи
10
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объем фигуры,
многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника,
куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность
вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь
поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объем куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
конуса, шара, развертка поверхности, сечения конуса и цилиндра,
параллельные оси или основанию, сечение шара, плоскость,
касающаяся сферы, цилиндра, конуса; умение строить сечение
многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности
вращения, их сечения, в том числе с помощью электронных средств;
умение применять свойства геометрических фигур, самостоятельно
формулировать определения изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о
свойствах и признаках геометрических фигур, обосновывать или
опровергать их; умение проводить классификацию фигур по
различным признакам, выполнять необходимые дополнительные
построения
11
Умение оперировать понятиями: движение в пространстве,
параллельный перенос, симметрия на плоскости и в пространстве,
поворот, преобразование подобия, подобные фигуры; умение
распознавать равные и подобные фигуры, в том числе в природе,
искусстве, архитектуре; использовать геометрические отношения при
решении задач; находить геометрические величины (длина, угол,
площадь, объем) при решении задач из других учебных предметов и
из реальной жизни; умение вычислять геометрические величины
(длина, угол, площадь, объем, площадь поверхности), используя
изученные формулы и методы, в том числе: площадь поверхности
пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, площадь сферы; объем куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
конуса, шара; умение находить отношение объемов подобных фигур
12
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат,
вектор, координаты точки, координаты вектора, сумма векторов,
произведение вектора на число, разложение вектора по базису,
скалярное произведение, векторное произведение, угол между
векторами; умение использовать векторный и координатный метод
для решения геометрических задач и задач других учебных предметов
13
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание
значимости математики в изучении природных и общественных
процессов и явлений; умение распознавать проявление законов
математики в искусстве, умение приводить примеры математических
открытий российской и мировой математической науки
Таблица 4.7
Перечень элементов содержания, проверяемых на ЕГЭ
по математике
Код
1
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
1.1
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
1.2
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби
1.3
Арифметический
корень
натуральной
степени.
арифметическими корнями натуральной степени
Действия
с
1.4
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем.
Свойства степени
1.5
Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента
1.6
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
1.7
Действительные числа. Арифметические операции с действительными
числами. Приближенные вычисления, правила округления, прикидка и
оценка результата вычислений
1.8
Преобразование выражений
1.9
Комплексные числа
2
Уравнения и неравенства
2.1
Целые и дробно-рациональные уравнения
2.2
Иррациональные уравнения
2.3
Тригонометрические уравнения
2.4
Показательные и логарифмические уравнения
2.5
Целые и дробно-рациональные неравенства
2.6
Иррациональные неравенства
2.7
Показательные и логарифмические неравенства
2.8
Тригонометрические неравенства
2.9
Системы и совокупности уравнений и неравенств
2.10
Уравнения, неравенства и системы с параметрами
2.11
Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы
3
Функции и графики
3.1
Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции
3.2
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке
3.3
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Ее свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени
3.4
Тригонометрические функции, их свойства и графики
3.5
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
3.6
Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций,
непрерывных на отрезке
3.7
Последовательности, способы задания последовательностей
3.8
Арифметическая
процентов
4
и
геометрическая
прогрессии.
Формула
сложных
Начала математического анализа
4.1
Производная функции. Производные элементарных функций
4.2
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
на отрезке
4.3
Первообразная. Интеграл
5
Множества и логика
5.1
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера - Венна
5.2
Логика
6
Вероятность и статистика
6.1
Описательная статистика
6.2
Вероятность
6.3
Комбинаторика
7
Геометрия
7.1
Фигуры на плоскости
7.2
Прямые и плоскости в пространстве
7.3
Многогранники
7.4
Тела и поверхности вращения
7.5
Координаты и векторы
